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冲刺19年高考数学, 专题复习315:立体几何有关的题型

​典型例题分析1:

如图,在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中,已知AD∥BC,∠ASC=60°,AD=DC=√2,SA=SC=SD=2.

(Ⅰ)求证:AC⊥SD;

(Ⅱ)求三棱锥B﹣SAD的体积.

​证明:(1)取AC中点O,连结OD,SO,

∵SA=SC,

∴SO⊥AC,

∵AD=CD,

∴OD⊥AC,

又∵OS⊂平面SOD,OD⊂平面SOD,OS∩OD=O,

∴AC⊥平面SOD,

∵SD⊂平面SOD,

∴AC⊥SD.

(2)∵SA=SC=2,∠ASC=60°,

∴△ASC是等边三角形,

∴AC=2,OS=√3,

∵AD=CD=√2,

∴AD2+CD2=AC2,

∴∠ADC=90°,OD=AC/2=1.

∵SD=2,

∴SO2+OD2=SD2,

∴SO⊥OD,

又∵SO⊥AC,AC⊂平面ABCD,OD⊂平面ABCD,AC∩OD=O,

∴SO⊥平面ABCD,

∴V棱锥B﹣SAD=V棱锥S﹣ABD

=1/3•S△ABD•SO

=1/3×1/2×AD×CD×SO

=√3/3.

​考点分析:

空间中直线与直线之间的位置关系;棱柱、棱锥、棱台的体积.

题干分析:

(1)取AC中点O,连结OD,SO,由等腰三角形的性质可知AC⊥SO,AC⊥OD,故AC⊥平面SOD,于是AC⊥SD;

(2)由△ASC是等边三角形可求得SO,AC,利用勾股定理的逆定理可证明AD⊥CD,SO⊥OD,故而SO⊥平面ABCD,代入体积公式计算即可.

解题反思:

本题考查了线面垂直的判定与性质,棱锥的体积计算,属于中档题.

​​典型例题分析2:

如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥BC,AA1=2,AC=2√2,M是CC1的中点,P是AM的中点,点Q在线段BC1上,且BQ=QC1/3.

(1)证明:PQ∥平面ABC;

(2)若直线BA1与平面ABM成角的正弦值为2√15/15,求∠BAC的大小.

​考点分析:

直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.

题干分析:

(1)设AB=a,BC=b,以B为坐标原点建立坐标系,为平面ABC的一个法向量,求出坐标,通过证明向量积等于0得出PQ∥平面ABC;

(2)求出向量和平面ABM的法向量,令|cos<,>|=2√15/15得出a,b的关系,结合a2+b2=8得出a,b的值,从而确定∠BAC的大小.

解题反思:

题考查了线面平行的判定,空间向量的应用,线面角的计算,属于中档题.

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